Cho biết phương trình ${{\log }_{3}}\left( {{3}^{x+1}}-1 \right)=2x+{{\log }_{\frac{1}{3}}}2$ có hai nghiệm; gọi hai nghiệm đó là ${{x}_{1}}$ và

Jeffreyhip

New member
Cho biết phương trình [imath]{{\log }_{3}}\left( {{3}^{x+1}}-1 \right)=2x+{{\log }_{\frac{1}{3}}}2[/imath] có hai nghiệm; gọi hai nghiệm đó là [imath]{{x}_{1}}[/imath] và [imath]{{x}_{2}}[/imath]. Hãy tính tổng [imath]S={{27}^{{{x}_{1}}}}+{{27}^{{{x}_{2}}}}[/imath]
A. [imath]S=180[/imath]
B. [imath]S=45[/imath]
C. [imath]S=9[/imath]
D. [imath]S=252[/imath]
 

Lâm Vũ

New member
Có thể có hai cách thực hiện yêu câu đặt ra:
Cách 1: Giải phương trình đã cho để tìm các nghiệm [imath]{{x}_{1}}[/imath] và [imath]{{x}_{2}}[/imath], thay các giá trị tìm được vào tổng [imath]S[/imath] và thực hiện các tính toán để tìm ra đáp số.
Cách 2: Căn cứ quá trình tìm [imath]{{x}_{1}}[/imath], [imath]{{x}_{2}}[/imath], tìm ra các tính chất đặc trưng của tổng [imath]S[/imath], từ đó định ra cách tính [imath]S[/imath] “ nhẹ nhàng” hơn cả.
Dưới đây là các thông tin có thể khai thác được, khi tiến hành xử lý tình huống theo cách 2:
Ký hiệu (1) là phương trình đã cho, ta có:
[imath]\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{3}^{x+1}}-1 \right)+{{\log }_{3}}2=2x\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{2.3}^{x+1}}-2 \right)=2x[/imath]
[imath]\Leftrightarrow {{2.3}^{x+1}}-2={{3}^{2x}}\Leftrightarrow {{3}^{2x}}-{{6.3}^{x}}+2=0[/imath] (2)
Như vậy, các nghiệm [imath]{{x}_{1}},{{x}_{2}}[/imath] của phương trình (1) có thể được tìm ra nhờ việc giải phương trình (2), bằng cách đặt ẩn số phụ [imath]t={{3}^{x}}[/imath]. Nói cách khác, [imath]{{3}^{{{x}_{1}}}}[/imath] và [imath]{{3}^{{{x}_{2}}}}[/imath] là hai nghiệm của phương trình (ẩn [imath]t[/imath]): [imath]{{t}^{2}}-6t+2=0[/imath] (3)
Để ý rằng, [imath]S={{27}^{{{x}_{1}}}}+{{27}^{{{x}_{2}}}}={{\left( {{3}^{{{x}_{1}}}} \right)}^{3}}+{{\left( {{3}^{{{x}_{2}}}} \right)}^{3}}[/imath] , sẽ thấy để tính [imath]S[/imath], cần tính tổng lập phương hai nghiệm của phương trình (3).
Việc nhớ định lý Vi-ét cho phương trình bậc hai và nhớ hằng đẳng thức [imath]{{a}^{3}}+{{b}^{3}}={{\left( a+b \right)}^{3}}-3ab\left( a+b \right)[/imath] , sẽ thấy ngay một cách tính tổng [imath]S[/imath] không qua việc giải cụ thể các phương trình.
 
Top