Cho hai số thực $a,b$ với $1<a<b$. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ?

Cho hai số thực [imath]a,b[/imath] với [imath]1<a<b[/imath]. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ?
A. [imath]{{\log }_{a}}b<1<{{\log }_{b}}a[/imath]
C. [imath]{{\log }_{b}}a<{{\log }_{a}}b<1[/imath]
B. [imath]1<{{\log }_{a}}b<{{\log }_{b}}a[/imath]
D. [imath]{{\log }_{b}}a<1<{{\log }_{a}}b[/imath]
 

Lâm Vũ

New member
Phân tích: Điều quan tâm ở câu hỏi trên là sự so sánh [imath]{{\log }_{a}}b[/imath], [imath]{{\log }_{b}}a[/imath] với 1 và sự so sánh giữa hai logarit đó với nhau. Nhận thấy, các đáp án A, B, C, D chỉ có thể đóng vai trò là các dữ liệu đối chiếu. Ví thế, cách duy nhất để trả lời câu hỏi đặt ra là tìm cách so sánh các logarit đó với 1 và với nhau. Có thể có hai cách tìm ra các so sánh đó.
Cách 1: Để ý rằng [imath]1={{\log }_{a}}a={{\log }_{b}}b[/imath] , có thể tìm ra các so sánh nêu trên nhờ tính đồng biến, nghịch biến của hàm số logarit.
Cách 2: Để ý rằng bốn khả năng A, B, C, D đôi một xung khắc (nghĩa là, nếu đã xảy ra khả năng này thì không thể xảy ra khả năng kia) và mỗi khả năng, nếu đã đúng cho một cặp giá trị [imath]a,b[/imath] cụ thể nào đó thỏa mãn điều kiện đề bài thì nó phải đúng cho mọi cặp giá trị [imath]a,b[/imath] khác cũng thỏa mãn điều kiện đề bài. Điều này gợi ý cách tìm ra so sánh giữa 1, [imath]{{\log }_{a}}b[/imath] , [imath]{{\log }_{b}}a[/imath] nhờ việc gán cho [imath]a,b[/imath] các giá trị cụ thể thích hợp, thuận tiện cho việc tính [imath]{{\log }_{a}}b[/imath], [imath]{{\log }_{b}}a[/imath].
Hướng dẫn giải:
Cách 1: (dựa và tính đồng biến nghịch biến của hàm số logarit): Vì [imath]1<a<b[/imath] nên [imath]{{\log }_{b}}a<{{\log }_{b}}b=1={{\log }_{a}}a<{{\log }_{a}}b[/imath]
Cách 2: (dựa vào việc gán cho [imath]a,b[/imath] các giá trị cụ thể): Chọn [imath]a=2,b={{2}^{2}}[/imath] , ta có [imath]1<a<b[/imath] và [imath]{{\log }_{a}}b={{\log }_{2}}{{2}^{2}}=2{{\log }_{2}}2=2[/imath] và [imath]{{\log }_{b}}a={{\log }_{{{2}^{2}}}}2=\frac{1}{2}{{\log }_{2}}2=\frac{1}{2}[/imath] .
Từ đó, vì [imath]\frac{1}{2}<1<2[/imath] , ta được [imath]{{\log }_{b}}a<1<{{\log }_{a}}b[/imath]
D là đáp án đúng.
Nhận xét: Dù thực hiện theo cách 1 hay cách 2 trên đây, để trả lời được câu hỏi đã đặt ra, người làm bài cần hiểu bản chất Toán học của nội dung câu hỏi và cần tìm được mối liên kết logic giữa nội dung được quan tâm và các kiến thức Toán học đã được học. Vì thế, câu hỏi đã ra là một câu hỏi ở cấp độ “vận dùng (thấp)”.
 
Top